La droite de régression linéaire est un outil statistique particulièrement utilisée pour prévoir un niveau futur à partir des données du passé.
L’utilisation de la droite de régression linéaire n’est pas réservée uniquement à la l’analyse technique. Elle est utilisée dans des domaines et secteurs variés (exemple d’utilisation en gestion pour la construction des budgets…).

La droite de régression linéaire est construite de façon à ce qu’elle représente au mieux le mouvement effectué par les prix. La droite est construite pour qu’elle « colle » au mieux la tendance amorcée par les prix. Il s’agit en quelque sorte de la droite qui représente l’évolution du « prix d’équilibre ».
Le calcul de cette droite repose sur la méthode des moindres carrés.

Les différents points sur le graphique ci-dessus représentent les cours. La droite de régression linéaire tente de représenter la tendance amorcée par les prix.

Il existe différents indicateurs dérivés de la droite de régression linéaire (la pente de régression linéaire…). Elle rentre dans le calcul d’autres indicateurs techniques comme le Time Series Forecast, les canaux de Raff…

La régression linéaire fait l’objet de plusieurs outils :

• La droite de régression linéaire

Le calcul de la droite de régression linéaire est assez complexe.
La droite de régression linéaire est calculée sur une période déterminée avec la méthode des moindres carrés(*).

La droite a pour formule : Y = At+ B

Yi correspond au cours à l’instant i
Ti correspond à la variable temps à l’instant i
La première séance prise en compte dans le calcul donne la variable temps = t1 = 1
La deuxième séance prise en compte donne t2= 2
…etc

Le coefficient A correspond au rapport entre la covariance et la variance

La covariance correspond à :

Pour simplifier, le calcul de la covariance peut se décomposer en plusieurs étapes (voir tableau suivant avec l’exemple) :

• Etape 1 : Pour chaque séance on multiplie le cours du jour avec la variable temps (1 pour la première séance, 2 pour la deuxième…).

• Etape 2 : On additionne les résultats obtenus

• Etape 3 : On divise le résultat de l’étape 2 par la période

• Etape 4 : On multiplie la moyenne des cours sur la période avec la moyenne des variables temps (pour une période de 3 => (1+2+3)/3 ; pour une période de 4 => (1+2+3+4)/4 ; pour une période de 5(1+2+3+4+5)/5)..etc)

• Etape 5 : on soustrait le résultat de l’étape 3 avec le résultat 4 : nous avons la covariance.

La variance correspond à la formule :

De la même façon que pour la covariance, décomposons le calcul de la variance (exemple au niveau du tableau ci-dessous)

• Etape 1 : on met les valeurs temps au carré

• Etape 2 on fait l’addition des valeurs obtenues

• Etape 3 : on divise le résultat obtenu par la période

• Etape 4 : on calcul la moyenne des valeur temps que l’on met au carré

• Etape 5 : on soustrait le résultat obtenu à l’étape 3 avec le résultat de l’étape 4 : nous avons la variance

A l’issue de ces calculs on divise la covariance par la variance pour nous donner le cœfficient a.

A = Cov (T,y) / V(T) = 1/50 = 0,02

« A » correspond à la pente de la droite de régression linéaire. L’indicateur de la pente de la droite de tendance est utilisé parfois dans le trading pour apprécier l’inclinaison d’un mouvement (une tendance).

Lorsque a est positif la tendance est haussière. Lorsqu’il est négatif, la tendance est baissière.

Le calcul de b correspond à :

B = moyenne des cours – a * moyenne des variables temps

Le calcul s’effectue sur une période déterminée ou à déterminer.

Exemple

La droite de régression linéaire peut être utile pour prévoir la prochaine donnée.

• La courbe de régressons linéaire (CRL)

Cet indicateur correspond à la valeur finale de la droite de régression linéaire pour chaque période.

La courbe de régression linéaire (CRL) correspond à une courbe qui relie toutes les valeurs terminales des droites de régressions linéaires. Il s’agit d’un indicateur de suivi de tendance particulièrement dynamique qui permet de déterminer un niveau et une orientation futur.

La CRL possède l’avantage d’être plus sensible aux cours que les moyennes mobiles. Elle permet aussi de mieux épouser la tendance alors que les MM sont presque toujours en décalage avec les cours. Elle corrige l’effet retardataire des moyennes mobiles en tenant compte de l’amplitude des mouvements (alors que la MM fait seulement une moyenne).

Le calcul de la CRL nécessite un paramètre correspondant à la période pour le calcul des droites de régressions linéaires.

• L’oscillateur de régression linéaire (ORL)

L’oscillateur de régression linéaire (ORL) correspond à la différence entre la valeur de la courbe de régression linéaire (CRL) et le cours du jour (en général cours de clôture).
Le calcul de l’ORL nécessite un paramètre correspondant à la période pour le calcul la courbe de régression linéaire.

Lorsque la CRL est utilisée seule il est conseillé d’avoir une période assez courte pour une meilleur réactivité. Lorsque la CRL est utilisée dans le calcul de la l’Oscillateur de régression linéaire il est opportun d’avoir une période assez longue (de 10 à 25 jours) pour déterminer le niveau de surachat et de survente (pour faire une bonne comparaison avec l’historique).

Pour chaque valeur ou indice, les zones de sur achat et de sur vente sont à déterminer sur l'historique. Chaque valeur aura un niveau de sur achat et de sur vente spécifique.

• R2 ou le coefficient de corrélation

Le coefficient de corrélation permet d’apprécier la relation entre les prix et la droite de régression linéaire. Plus les cours seront proches de la droite de régression linéaire plus la tendance sera forte, et plus la droite de régression linéaire sera pertinente. Le R2 sera élevé. A l’inverse plus les cours sont éloignés de la droite de régression, plus la tendance sera faible et plus le R2 sera faible. Cet indicateur juge en quelque sorte la pertinence de la droite de régression linéaire. Plus il est proche de 1 plus la tendance en cours matérialisée par la droite de RL est forte.

R2 élevé => tendance forte
R2 faible => tendance faible

Le coefficient de corrélation s’obtient avec la formule suivante

Cov (T,y) pour la covariance des cours et de la variable temps
V (t) : variance de la variable temps
V (y) : variance des cours

La méthode de calcul de la covariance et de la variance est décrite un peu plus haut.

Le R2 permet de mesurer la corrélation entre les cours et la variable temps. Le but est de mesurer si ces deux variables sont bien dépendantes (et donc construire une droite de régression linéaire avec une équation y = ax +b)

(*) détail méthode des moindres carrés http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_moindres_carr%C3%A9s

• La droite de régression linéaire :

On constate généralement que les écarts importants entre les cours et la tendance déterminée par la droite de régression linéaire sont le résultat d’une exagération. Les cours ont alors l’habitude de revenir au niveau de la droite de régression linéaire. Cela dit, il est difficile de déterminer le niveau maximum d’exagération. L’utilisation du canal de RAFF ou le canal d’Erreur Type peut être utile pour déterminer le niveau à partir duquel un « retour à la raison » n’est plus envisageable (une nouvelle tendance peut alors être construite).

• La pente de régression linéaire.

L’indicateur de pente de régression linéaire permet d’apprécier l’inclinaison d’un mouvement mis en évidence par une droite de régression linéaire. Cet indicateur permet aussi de déterminer le sens de la tendance. Lorsque l’indicateur est positif la tendance est haussière. Lorsqu’il est négatif, la tendance est baissière. Les changements de signe de la pente de régression linéaire signalent un renversement de tendance.

Dans une tendance haussière lorsque l’indicateur commence à ralentir, la pente de régression indique que les dernières droites de régression linéaire ont une inclinaison moins importante. La tendance haussière s’affaiblit. A l’inverse, dans une tendance baissière des prix, lorsque l’indicateur commence à décélérer, le signal indique que la tendance baissière des prix commence à s’affaiblir.

• L'oscillateur de regréssion linéaire

La courbe de régression linéaire permet de mettre en évidence les exagérations du marché. L’oscillateur de régression linéaire correspond à la différence entre la courbe de régression linéaire et les prix. L’utilisation de cet indicateur de timing suppose la détection de deux types de zones : la zone de surachat et la zone de survente. Pour chaque valeur ou indice, ces zones sont à déterminer sur l'historique. Chaque valeur aura un niveau de sur achat et de sur vente spécifique.

Le signal sera haussier lorsque les cours vont quitter la zone de survente. A l’inverse le signal est baissier lorsque les cours sortent de leur zone de surachat. Seuls les cours (par la cassure d’un support ou d’une résistance) permettent de justifier la prise d’une position.

L’ORL est un indicateur de timing assez pertinent pour déterminer les creux et sommets.

• Le coefficient de corrélation R2
  

Le R2 permet de juger de la pertinence de la tendance matérialisée par droite de régression linéaire. R2 permet ainsi que d’apprécier la force d’un mouvement en cours. Plus R2 est proche de 1 plus la tendance (la droite de régression linéaire) est statistiquement significative.

R2 élevé => tendance forte (la droite de RL est pertinente)
R2 faible => tendance faible (la droite de RL n’est pas pertinente)

Les niveaux élevés ou faibles de l’indicateur (qui permettent de dire si notre droite de régression linéaire est pertinente) dépendent de la période sur laquelle est calculée la droite de régression linéaire (RL).

Steve ACHELIS préconise dans son ouvrage Technical Analysis from A to Z les niveaux suivant :

Selon Steve ACHELIS L’Analyse technique de A à Z Edition VALOR

Le R2 est généralement utilisé avec d’autres indicateurs.

Un retournement à la baisse de l’indicateur dans une tendance forte des prix à de forte probabilité de signaler un retournement
A l’inverse, la forte augmentation de l’indicateur peut signaler la naissance d’une nouvelle tendance.

Tableau récapitulatif

Exemple utilisation R carré
Le retournement de l’indicateur R2 combiné avec l’utilisation des droites de tendances permet de donner des signaux assez pertinents.
Les points A, C et E correspondent à des retournements à la hausse de l’indicateur R2. Nous avons alors une forte probabilité de donner naissance à une nouvelle tendance. Les points B et D indiquent des retournements à la baisse. Les tendances en cours s’affaiblissent. Les signaux (petites flèches rouge) sont confirmés par la cassure du support ou de la résistance.



L’oscillateur de régression linéaire est un indicateur technique de timing. Il permet d’identifier assez précisément les niveaux de surachat et de survente. Les niveaux élevés de l’indicateur en zone de surachat et de survente indiquent généralement un sommet et un creux.


L’exemple pente de RL
Le changement de signe de la pente de RL permet d’envisager un renversement de tendance. Le changement de signe (matérialisés par les droites verticales rouges en pointillées) doit être significatif pour éviter les faux signaux. Pour cela il est possible de définir deux niveaux : niveau + à partir duquel on considère que l’indicateur est vraiment positif ; un niveau – à partir duquel l’indicateur est réellement négatif. Lorsque l’indicateur franchit à la hausse le niveau +, la probabilité d’évoluer dans une tendance haussière est forte. A l’inverse lorsque les cours passent sous le niveau – le signal est généralement baissier.
La combinaison de cet indicateur avec les prix peut donner des signaux assez pertinents. Ainsi, par exemple, pour le point B le signal est négatif au niveau de l’indicateur mais les cours ne cassent pas le support. Le point C sera plus significatif car il confirme la cassure du support.
De la même manière le franchissement de l’indicateur en niveau négatif pour le point E confirme la cassure du support (en bleu pointillé). L’indicateur signal que la probabilité que les cours soient en tendance baissière est forte. Le signal de fin de tendance baissière au point F est trop précoce. Il est plus prudent d’attendre la cassure de la résistance qui va intervenir quelques séances après.

Canal de RAFF